Arsip | Math Scientist RSS feed for this section

Sejarah Trigonometri

28 Des

Trigonometri (dari bahasa yunani, trigonon = tiga sudut dan metro = mengukur) adalah sebuah cabang matematika yang berhadapan dengan sudut segi tiga dan fungsi trigonometrik seperti sinus, cosinus, dan tangen. Trigonometri memiliki hubungan dengan geometri, meskipun ada ketidaksetujuan tentang apa hubungannya; bagi beberapa orang, trigonometri adalah bagian dari geometri.
Sejarah awal
Awal trigonometri dapat dilacak hingga zaman Mesir Kuno dan Babilonia dan peradaban Lembah Indus, lebih dari 3000 tahun yang lalu. Matematikawan India adalah perintis penghitungan variabel aljabar yang digunakan untuk menghitung astronomi dan juga trigonometri. Lagadha adalah matematikawan yang dikenal sampai sekarang yang menggunakan geometri dan trigonometri untuk penghitungan astronomi dalam bukunya Vedanga, Jyotisha, yang sebagian besar hasil kerjanya hancur oleh penjajah India.
Istilah Sinus, Cosinus dan Tangen meski bagian dari trigonometri, namun ketiganya jauh lebih tua ketimbang istilah Trigonometri itu sendiri dalam sejarah penemuannya. Istilah Trigonometri pertama kali digunakan tahun 1595. Sedang istilah Sinus, Cosinus, dan Tangen sudah muncul pada tahun 600-an. Tapi, tulisan ini bukan untuk membahas sejarah istilah trigonometri.
Secara etimologi, arti kata sinus jauh dari isi konsepnya. “Sinus” adalah kata latin yang artinya justru “buah dada”. Konsep perbandingan sisi depan thdp hipotenusa dlm segi3, dalam bahasa sansekerta populer disebut “jiva” kemudian dalam peradaban islam berkembang jadi “Jiba”. Karena perkembangan ucapan dalam arab menjadi “Jaib” yang secara harfiah artinya ”buah dada”. Nah, buah dada dalam istilah latinnya adalah “sinus” dan berkembang jadi “sine” di Inggris. Jadi jangan heran kalau dalam kamus bahasa latin sinus = “buah dada”
Baru berkembang cosinus; “complementary sinus”.
Sedang tangen berkembang beberapa dekade kemudian, berasal dari kata latin “tangere” artinya menyentuh. Yang berangkat dari konsep segmen garis AB yang menyentuh lingkaran di A. Tangen adlh perb AB dan AO dlm sudut BOA
Matematikawan Yunani Hipparchus sekitar 150 SM menyusun tabel trigonometri untuk menyelesaikan segi tiga. Matematikawan Yunani lainnya, Ptolemy sekitar tahun 100 mengembangkan penghitungan trigonometri lebih lanjut.
Pada tahun 499, Aryabhata, seorang ahli matematik India mencipta jadual-jadual separuh perentas yang kini dikenali sebagai jadual sinus, bersama-sama dengan jadual kosinus. Beliau menggunakan zya untuk sinus, kotizya untuk kosinus, dan otkram zya untuk sinus songsang, dan juga memperkenalkan versinus.
Pada tahun 628, lagi seorang ahli matematik India, Brahmagupta, menggunakan formula interpolasi untuk menghitung nilai sinus sehingga peringkat kedua untuk formula interpolasi Newton-Stirling.
Ahli matematik Parsi, Omar Khayyam (1048-1131), menggabungkan trigonometri dan teori penghampiran untuk memberkan kaedah-kaedah untuk menyelesaikan persamaan algebra melalui min geometri. Khayyam menyelesaikan persamaan kuasa tiga, x3 + 200x = 20×2 + 2000, dan mendapat punca positif untuk kuasa tiga ini melalui persilangan hiperbola segi empat tepat dan bulatan. Penyelesaian angka hampiran kemudian didapat melalui interpolasi dalam jadual-jadual trigonometri.
Kaedah-kaedah perinci untuk membina jadual sinus untuk mana-mana satu sudut diberikan oleh ahli matematik India, Bhaskara pada tahun 1150, bersama-sama dengan sesetengah formula sinus dan kosinus. Bhaskara juga memperkembangkan trigonometri sfera.
Nasir al-Din Tusi, ahli matematik Parsi, bersama-sama dengan Bhaskara, mungkin merupakan orang-orang pertama untuk mengolahkan trigonometri sebagai satu disiplin matematik yang berlainan. Dalam karyanya, Karangan mengenai sisi empat merupakan orang pertama untuk menyenaraikan enam kes yang berbeza untuk segi tiga bersudut tegak dalam trigonometri sfera.
Pada abad ke-14, al-Kashi, seorang ahli matematik Parsi, dan Ulugh Beg (cucu lelaki Timur), seorang ahli matematik Timurid, menghasilkan jadual-jadual fungsi trigonometri sebagai sebahagian kajian astronomi mereka.
Bartholemaeus Pitiscus, ahli matematik Silesia menerbitkan karya trigonometri yang terpengaruh pada tahun 1595 dan memperkenalkan perkataan “trigonometri” kepada bahasa Inggeris dan bahasa Perancis.
Pada pertemuan kali ini, trigonometri yang akan dibahas adalah trogonometri yang berhubungan dengan rumus-rumus jumlah/selisih dan hasil kali baik untuk sinus, cosinus, maupun tangen.

Iklan

Sejarah Probabilitas

3 Des

Probabilitas dikenal dengan teori peluang. Teori peluang awalnya diinspirasi oleh masalah perjudian. Awalnya dilakukan oleh matematikawan dan fisikawan Itali yang bernama Girolamo Cardano (1501-1576). Cardano lahir pada tanggal 24 September 1501. Cardano merupakan seorang penjudi pada waktu itu. Walaupun judi berpengaruh buruk terhadap keluarganya, namun judi juga memacunya untuk mempelajari peluang. Dalam bukunya yang berjudul Liber de Ludo Aleae (Book on Games of Changes) pada tahun 1565, Cardano banyak membahas konsep dasar dari peluang yang berisi tentang masalah perjudian. Sayangnya tidak pernah dipublikasikan sampai 1663. Girolamo merupakan salah seorang dari bapak probability. Pada tahun 1654, seorang penjudi lainnya yang bernama Chevalier de Mere menemukan sistem perjudian.
Ketika Chevalier kalah dalam berjudi dia meminta temannya Blaise Pascal (1623- 1662) untuk menganalisis sistim perjudiannya. Pascal menemukan bahwa sistem yang dipunyai oleh Chevalier akan mengakibatkan peluang dia kalah 51 %. Pascal kemudian menjadi tertarik dengan peluang, dan mulailah dia mempelajari masalah perjudian. Dia mendiskusikannya dengan matematikawan terkenal yang lain yaitu Pierre de Fermat (1601-1665). Mereka berdiskusi pada tahun 1654 antara bulan Juni dan Oktober melalui 7 buah surat yang ditulis oleh Blaise Pascal dan Pierre de Fermat yang membentuk asal kejadian dari konsep peluang. Pascal bekerjasama dengan Fermat menyelesaikan soal-soal yang diberikan oleh Chevalier de Mere..
Di awal tahun 1656, Christiaan Huygens menulis naskah Van Rekeningh in Spelen van Geluck . Van Rekeningh in Spelen van Geluck adalah risalat singkat terdiri dari 15 halaman, yang kemung kinan didasarkan atas apa yang dilihat Huygen selama dia menetap di Paris pada tahun-tahun sebelumnya tentang surat menyurat antara Pascal dan Fermat. Pada bentuk akhirnya, tulisan ini memuat 14 masalah (Voorstellen) dengan solusi atau buktinya dan 5 masalah yang harus diselesaikan oleh pembaca. Lima masalah terakhir adalah sebagian dari masalah Fermat dan Pascal. Masalah terakhir dari kelima masalah tersebut pada akhirnya dikenal sebagai “Gambler’s ruin” dan bagian-bagian dari surat menyurat Pascal dan Fermat yang di terbitkan pada tahun 1656.
Pada tahun 1709 Jaques (Jacob) Bernoulli me nulis buku Ars Conjectandi, yang terdiri 5 bagian, yaitu:
1. Menulis lagi Liber de Ludo Aleae (Book on Games of Chance) karya Cardano
2. Permutasi dan Kombinasi
3. Distribusi Binomial dan Multinomial
4. Teori Peluang

Siapa Sih Bapak Aljabar Matematika

13 Okt

Muḥammad bin Mūsā al-Khawārizmī (Arab: محمد بن موسى الخوارزمي) adalah seorang ahli matematika, astronomi, astrologi, dan geografi yang berasal dari Persia. Lahir sekitar tahun 780 di Khwārizm (sekarang Khiva, Uzbekistan) dan wafat sekitar tahun 850. Hampir sepanjang hidupnya, ia bekerja sebagai dosen di Sekolah Kehormatan di Baghdad

Buku pertamanya, al-Jabar, adalah buku pertama yang membahas solusi sistematik dari linear dan notasi kuadrat. Sehingga ia disebut sebagai Bapak Aljabar. Translasi bahasa Latin dari Aritmatika beliau, yang memperkenalkan angka India, kemudian diperkenalkan sebagai Sistem Penomoran Posisi Desimal di dunia Barat pada abad ke 12. Ia merevisi dan menyesuaikan Geografi Ptolemeus sebaik mengerjakan tulisan-tulisan tentang astronomi dan astrologi.

Kontribusi beliau tak hanya berdampak besar pada matematika, tapi juga dalam kebahasaan. Kata Aljabar berasal dari kata al-Jabr, satu dari dua operasi dalam matematika untuk menyelesaikan notasi kuadrat, yang tercantum dalam buku beliau. Kata logarisme dan logaritma diambil dari kata Algorismi, Latinisasi dari nama beliau. Nama beliau juga di serap dalam bahasa Spanyol Guarismo dan dalam bahasa Portugis, Algarismo yang berarti digit.

Matematikawan Pencerca Agama

20 Agu

Cauchy selalu mencerca agama, dan tabiat ini selalu memicu masalah baginya. Orang yang kenal dengannya menyebut bahwa tabiat itu membuat dirinya penuh percaya diri, arogan, pemujaan diri sendiri dan saya tersingkir dari pergaulan. Tabiat itu juga mempengaruhi sikapnya terhadap ilmuwan lain. Memberikan opini religius saat melakukan penelitian ilmiah. Ketika memberikan laporan penelitian tentang teori cahaya pada tahun 1824, dia menyerang pandangan perintis awal teori itu – Newton, yang disebutnya tidak percaya bahwa manusia mempunyai jiwa (soul).

Siapa Sih Galileo????

16 Jul

Galileo si pantang menyerah

Engkau tentu telah sering mendengar nama Galileo Galilei, bukan? Disebutkan bahwa ia memilih menerima hukuman mati untuk membela kebenaran ilmiah temuannya, benarkah?

Galileo Galilei dilahirkan di Pisa, Italia, 15 Pebruari 1564. Pada usia 17 tahun ia menjadi mahasiswa kedokteran Universitas Pisa, tetapi tidak tamat. Kemudian ia belajar matematika secara pribadi dari Pangeran Ostillo Ricci di Florence. Pada usia 25 tahun diangkat menjadi profesor matematika di Universitas Pisa.

Ia mengamati ayunan bandul lonceng gereja katedral yang besar di Pisa itu. Ia menyimpulkan bahwa ayunan lonceng itu tidak dipengaruhi oleh bobotnya. Ia juga menemukan bahwa kecepatan benda-benda yang jatuh bebas dari suatu menara tidak juga dipengaruhi oleh beratnya. Artinya, benda yang lebih berat tidak bergerak lebih cepat dari pada benda-benda yang lebih ringan. Jarak yang ditempuh oleh benda jatuh bebas sebanding dengan kuadrat dari waktu yang telah dijalani. Kini, kita mengenal s = ½ gt2.  Temuan ini menghasilkan debat bekepanjangan di universitasnya.

Ia, kemudian, pindah ke Universitas Padua, karena suasanya lebih bersahabat terhadap kehidupan ilmiah. Ia berkerja di sini selama 18 tahun. Termometer sederhana ditemukannya pada usia 29 tahun, dan jangka untuk Geometri diciptakan pada usia 33 tahun. Teropong bintang Galileo dibuat olehnya pada usia 45 tahun setelah mendengar koleganya di Belanda, Johann Lippershiem,  membuat teleskop. Juga mikroskop modern yang kita gunakan saat ini.

Dengan teleskop buatan sendiri itu ia mengamati noda  pada Matahari, gunung-gunung di Bulan, fase peredaran Venus, cincin Saturnus, dan empat satelit Palnet Yupiter.

Jelajah di jagad raya dengan teleskopnya yang dianalisis dengan matematika akhirnya membawanya ke posisi mendukung Teori Kopernikus. Utusan Bintang-bintang dan Sejarah dan konsep-konsep Noda Matahari beserta fenomenanya merupakan dua buku yang secara jelas mendukung Kopernikus yang menyatakan bahwa pusat tata surya kita bukan Bumi tetapi Matahari.

Gereja menyatakan bahwa matahari sentries merupakan ajaran sesat. Karena itu, Galileo dilarang mengembangkan dan menyebarluaskan pendapatnya itu. Ia tiga kali pergi ke Roma untuk menghadiri persidangan tentang dirinya. Bulan Pebruari 1633 ia tiba di Roma yang ketiga kali. Tanggal 21 April 1633, sidang baginya dibuka. Ia diminta membeberkan pendapatnya di depan 10 orang Kardinal. Pada sidang yang kedua 30 April 1633, interrogator mengatakan bahwa ia telah melanggar ajaran gereja, dan tentunya berarti menentang Alkitab. Ia harus ihuku mati. Dalam hatinya ia berkata; “Ya, Allah, selamanya aku tidak pernah membangkang ajaran-Mu. Tapi mengapa saya yang sudah tua ini harus mengalami penderitaan semacam ini”. “Saya sudah tua, sebagai pesakitan, sisa hidup saya mungkin juga tidak banyak lagi. Tetapi kerja masih banyak yang harus diselesaiakan. Saya masih ingin menulis buku tentang gerak benda. Saya harus bagaimana?. Menyerah setelah bekerja bertahun-tahun?”

Ia dihadapkan pada pilihan yang sulit, mati mempertahankan pendapatnya, atau mengaku salah agar dapat meneruskan jelajah pencarian pengetahuannya. Setelah berpikir panjang, akhirnya ia mencabut pendapatnya. Tanggal 21 Juni 1633, 10 orang Kardinal berembua dan menjatuhkan hukuman kepada Galileo. Karena mengaku salah ia diputus dipenjara seumur hidup dan boleh melanjutkan penelitiannya.

Ia mempelajari gerak jatuh bebas, dan juga gerak parabola. Ia meletakkan dasar-dasar teori dinamika yang kelak kemudian hari disempurnakan oleh Newton dan oleh Einstein. Ia juga menemukan model mikroskop yang kita kenal saat ini. Galileo juga mengatakan bahwa ia menemukan ekuivalensi dari himpunan tak berhingga. Ia juga memberikan kontribusi pada pengembangan teori himpunan abad ke-17 (Teori Cantor yang kelak di kemudian hari sangat berguna dalam analisis).

Selama menjalani hukuman seumur hidup, ia menulis buku dan meletakkan dasar-dasar kerangka kerja jam bandul pada usia 74 tahun.Ia meninggal dunia tahun 1642 (6 Januari)  dalam usia 78 tahun setelah sepuluh tahun menjalani hukuman seumur hidup.

Pada jaman itu, gereja menjadi penguasa tertinggi tidak saja dalam keagamaan tetapi juga dalam hal ilmu pengetahuan. Gereja selalu khawatir dengan temuan-temuan ilmiah yang ‘mungkin’ akan mengganggu iman umat saat itu. Umat sangat patuh (baca: takut) terhadap ajaran gereja. Galileo membimbing orang-orang itu untuk memanfaatkan ‘waktu’ dan ‘perhitungan matematika’ untuk melakukan penelitian ilmiah. Ia berpendapat hanya dengan matematika, pengamatan, dan percobaan-lah pemahaman kita tentang alam semesta semakin baik. Matematika, percobaan dan pengamatan merupakan alat penyelidikan ilmiah yang masih dipergunakan hingga saat ini. Ia mendapat gelar ‘Bapak Ilmu Pengetahuan Masa Kini’. Walaupun temuan-temuan itu mendapat kecaman dari gereja. Baru pada tahun 1980, pengadilan Roma merefleksi hukuman yang tidak adil bagi Galileo.

Selain penjelajahannya yang ‘heroik’ itu, sesungguhnya ia juga memendam rasa kurang senang terhadap koleganya, Johann Kepler yang pada tahun 1619 menerbitkan tiga hukum tentang orbit para planet. Ketiga hukum itu tidak dilihat sama sekali olehnya. Bagaimana pun juga Galileo tetap manusia biasa, bukan?.Galileo

Problem Kelinci Badai dan Deret Fibonacci

29 Jun

Mr CrazyMath

Mr CrazyMath

Pertemuan dengan Frederick dan pertanyaan-pertanyaan yang diajukan oleh ahli-ahli tersebut, dibukukan dan diterbitkan tidak lama kemudian. Tahun 1225 dia mengeluarkan buku Liber Quadrotorum (buku tentang Kuadrat) yang dipersembahkannya untuk Sang raja. Dalam buku itu tercantum problem yang mampu mengusik “akal sehat” matematikawan yaitu tentang problem kelinci beranak-pinak Pertanyaan sederhana tapi diperlukan kejelian berpikir.

“Berapa pasang kelinci yang akan beranak-pinak selama satu tahun. Diawali oleh sepasang kelinci, apabila setiap bulan sepasang anak kelinci menjadi produktif pada bulan kedua”

– Akhir bulan kedua, mereka kawin dan kelinci betina I melahirkan sepasang anak kelinci beda jenis kelamin.
– Akhir bulan kedua, kelinci betina melahirkan sepasang anak baru, sehingga ada 2 pasang kelinci.
– Akhir bulan ketiga, kelinci betina I melahirkan pasangan kelinci kedua, sehingga ada 3 pasang kelinci.
– Akhir bulan keempat, kelinci betina I melahirkan sepasang anak baru dan kelinci betina II melahirkan sepasang anak kelinci, sehingga ada 5 pasang kelinci.
Akan diperoleh jawaban: 55 pasang kelinci. Bagaimana bila proses itu terus berlangsung seratus tahun? Hasilnya (contek saja): 354.224.848.179.261.915.075.
Apakah ada cara cepat untuk menghitungnya? Di sini Fibonacci memberikan rumus bilangan yang kemudian dikenal dengan nama deret Fibonacci.

Deret Fibonacci

28 Jun

Setelah membaca riwayat pedagang yang ahli menghitung kelinci beranak-pinak, Fibonacci, dan mengetahui besaran nisbah emas (golden ratio), maka mainan di bawah ini menjadi semuat “puzzle” yang memancing gereget orang. Besar nisbah adalah 1,618 dengan mengkaitkannya dengan bilangan Fibonacci 1, 2, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34 dan seterusnya adakan diperoleh suatu “puzzle.”
Penasaran dengan bilangan-bilangan lain:

1,618² = 1 + 1,618
0,618² = 1 – 0,618
1,6184 = 1,618² + 1,618³
1,6185 = 1,618³ + 1,6184

Masih penasaran. Cobalah!

3 x 4 = 12; + 1 = 13
5 x 4 = 20; + 1 = 21
8 x 4 = 32; + 2 = 34
13 x 4 = 52;+ 3 = 55
21 x 4 = 84; + 5 = 89
34 x 4 = 136; + 8 = 144

Perhatikan bahwa bilangan-bilangan “berwarna” adalah deret Fibonacci.